Flame de Elite

Definição

Um operador lógico agrega duas proposições para formar uma proposição nova e complexa. (Se você ainda não leu sobre proposições, você deveria fazê-lo agora.)

O valor-verdade da nova proposição é determinado pelos valores-verdade das duas proposições sendo agregadas e pelo operador que as agrega.

Os operadores lógicos são os seguintes:

• Conjunção (e)

Quaisquer duas proposições P e Q podem ser conjuntas produzindo a proposição nova e complexa:

P e Q

A proposição P e Q é verdadeira se e somente se ambas P e Q forem verdadeiras e falsa em qualquer outra combinação.

A tabela-verdade para P e Q é a que se segue:

P	Q	P e Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

 

• Disjunção (ou)

Quaisquer duas proposições P e Q podem ser disjuntas, produzindo a proposição nova e complexa:

P ou Q

A proposição P ou Q é verdadeira se e somente se quaisquer umas de P ou Q forem verdadeiras e falsa somente se ambos P e Q forem falsas.

A tabela-verdade para P ou Q é a que se segue:

P	Q	P ou Q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

 

• Condicional (se P então Q)

  Quaisquer duas proposições P e Q podem ser agregadas por um operador condicional, produzindo a proposição nova e complexa:

  Se P então Q

  A proposição Se P então Q é verdadeira se e somente se P for falsa ou se Q for verdadeira. Ela é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa.

  A tabela-verdade para Se P então Q é a seguinte:

  P	Q	Se P então Q
  V	V	V
  V	F	F
  F	V	V
  F	F	V

  Uma condição especial acontece se trocarmos a posição de P e Q: nós temos Se Q então P, que é o mesmo que dizer P somente se Q.

  A tabela-verdade para P somente se Q é a seguinte:

  P	Q	P somente se Q
  V	V	V
  V	F	V
  F	V	F
  F	F	V

   

• Negação (Não P)

Quaisquer proposições P podem ser convertidas em suas negações com um operador de negação, produzindo a expressão nova e complexa:

Não P

A proposição Não P é verdadeira se e somente se P for falsa. Ela é falsa somente se P for verdadeira. Perceba que a expressão não muda se Q for falsa ou verdadeira.

A tabela-verdade para Não P é a seguinte:

P	Q	Não P
V	V	F
V	F	F
F	V	V
F	F	V

 

• Bicondicional (P se e somente se Q)

Quaisquer duas proposições P e Q podem ser agregadas com o operador bicondicional, produzindo a proposição nova e complexa:

P se e somente se Q

A proposição P se e somente se Q é verdadeira se e somente se ambos P e Q forem verdadeiras ou se ambas P e Q forem falsas e é falsa somente quando uma é verdadeira e a outra é falsa.

A tabela-verdade para P se e somente se Q é a seguinte:

P	Q	P se e somente se Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

O operador bicondicional é um operador complexo, construído de operadores mais simples. Pense nele deste jeito:

P se e somente se Q é o mesmo que:
(se P então Q) e (P somente se Q). Isso é como dizer:
(se P então Q) e (se Q então P).

O operador se e somente se tem um papel especial em definições. Quando nós dizemos P se e somente se Q, nós estamos dizendo que P diz a mesma coisa que Q.